Ошибка игрока или Немного о теории вероятности

16.06.2012

Теория вероятности
Поговорим о теории вероятности и об «ошибке игрока», которая проявляется в том числе и в крупных потерях на финансовых рынках - вспомним хотя бы недавнее фиаско лондонского трейдера JP Morgan, стоившее банку более двух миллиардов долларов. Рассказывает Джонатан Адлер, математик и специалист по игре в блэкджек. Вместо экспериментов математики выстраивают цепочки логических рассуждений и расчетов - логическая цепочка Адлера начинается с подбрасывания обычной монетки.


Если монета «честная», то вероятность выпадения «орла» или «решки» составляет 50/50. Но представьте, что вы подбросили монетку 10 раз, и по невероятному стечению обстоятельств все 10 раз выпадал «орёл». Каковы шансы того, что на 11-й раз выпадет «решка»? Интуиция подсказывает, что вероятность выросла: судьба как бы должна нам «решку». Но это не так - шансы по-прежнему 50/50: каждое подбрасывание монеты является независимым событием, не влияющим на последующие попытки. У монеты нет памяти, она «не знает» о том, каковы были результаты предыдущих бросков. 

В этом и заключается «ошибка игрока», который путает между собой долгосрочный средний результат (если подбрасывать монетку достаточно долго, «орел» и «решка» выпадут примерно одинаковое количество раз) и исход каждой конкретной попытки (после серии «орлов» якобы должна выпасть серия «решек», чтобы уравнять количество альтернативных исходов в долгосрочном плане). 

Перейдем к блэк-джеку. Несмотря на то, что существует множество вариаций этой карточной игры, основное правило не меняется: победитель розыгрыша получает выигрыш в размере своей ставки - кроме случая, когда игрок непосредственно на раздаче собирает «блэк-джек» (туз и картинка либо туз и 10); в этом случае выигрыш составляет полторы ставки. Хотя у игрока есть несколько вариантов действий во время каждого раунда, существует единственная оптимальная стратегия («базовая стратегия»), которая определяется картами на руках у игрока и открытой картой дилера, лежащей на столе. Хорошие игроки строго следуют этой стратегии, каждый раз выбирая единственно возможное наилучшее действие в сложившихся условиях. 

Предполагая следование базовой стратегии, математическое ожидание выигрыша игрока в каждой раздаче составляет -0,5 цента на доллар - теоретически, если ставить каждый раз по доллару и сыграть 100 раз, проигрыш составит 50 центов; шансы у казино всегда лучше.

Если вы посещаете игорное заведение, чтобы расслабиться, хорошо провести время и потратить лишние деньги, заложенное в игру преимущество казино не является серьезной проблемой. Другое дело, если вы садитесь за карточный стол, чтобы выиграть - ожидаемый проигрыш половины цента на каждой раздаче становится помехой вашим планам. Существует два законных метода исправить эту несправедливость - нужно либо изменить соотношение шансов в свою пользу, добившись положительного математического ожидания суммы выигрыша, либо постоянно менять размер ставок так, чтобы уменьшить вероятность проигрыша. Но работает только один из них!

Изменив структуру игры, можно попытаться увеличить свои шансы, добившись того, чтобы ожидаемый выигрыш от каждой раздачи был положительным. Самая известная попытка использовать этот метод была предпринята группой студентов MIT. Они обнаружили, что раздачи в блэк-джеке не являются подлинно независимыми друг от друга событиями, так как используется конечный набор карт. А значит, можно подсчитать карты, вышедшие из игры, и таким образом получить некую информацию о том, какие карты остались в колоде - если там остались в основном тузы и картинки, то знающий об этом игрок получает небольшое преимущество перед дилером. 

Студенты MIT успешно использовали методику подсчета карт, делая крупные ставки лишь тогда, когда в колоде оставались в основном картинки (по этой истории был снят кинофильм «21» с Кевином Спейси в главной роли). Но на практике считать карты невероятно трудно, а казино борются со «счетчиками» всеми законными и незаконными способами - от персонального запрета на посещение казино лиц, уличенных в подсчете карт, до физического насилия (что также нашло свое отражение в картине).

Вторая стратегия, известная как «мартингейл» (martingale), заключается в изменении размера ставок от раунда к раунду - при этой стратегии не нужно считать карты, нужно лишь знать свой текущий выигрыш или проигрыш. Вы приходите в казино с суммой в $1023 доллара и ставите $1. Если выигрываете — забираете доллар и уходите, если проигрываете - ставите два доллара и так далее; сумма в 1023 доллара позволяет игроку продержаться до 10 неудачных раундов подряд (допустим, что лимита ставок не существует). 

Справедливо полагая, что такая длинная полоса невезения встречается крайне редко, сторонники этого метода считают выигрыш в $1 практически гарантированным (с вероятностью 99,9%). Проблема в том, что, хотя вероятность проигрыша очень низка (0,01%), его размеры катастрофичны - проиграв, вы теряете сразу всю сумму $1023. Математическое ожидание выигрыша, таким образом, остается отрицательным. Меняя размер ставок, вы не улучшаете свои шансы, а просто сдвигаете риски: в результате вы выигрываете часто - но по мелочи, а проигрываете редко - но по-крупному. 

У этих двух стратегий есть очень близкие аналоги и в финансовом мире. Когда крупная инвестиционная компания разрабатывает новый метод предсказания движений рынка (к примеру, анализируя эмоциональную окраску сообщений в Твиттере), она пытается использовать новую информацию, чтобы повысить свои шансы на выигрыш - так же действовала и группа MIT. 

Напротив, когда банк хеджирует свои вложения, он пытается уменьшить количество возможных вариантов развития событий, при которых он теряет деньги - к примеру, хеджируя покупку акций Microsoft продажей акций Google: если обе бумаги упадут, то прибыль от шорта Google нивелирует убыток от лонга Microsoft. Но при такой стратегии банку приходится увеличивать леверидж (кредитное плечо), чтобы получить такую же прибыль, как и при работе без хеджа. И дальше ситуация напоминает карточную стратегию «мартингейл»: в подавляющем большинстве случаев банк получает небольшую прибыль, но иногда (очень редко) случается, что акции Microsoft падают, а бумаги Google дорожают - и тогда банк теряет сразу много денег. 

При всем многообразии и сложности финансовых продуктов, предлагаемых сегодня на рынке, инвестор не может точно сказать, какая из двух вышеописанных стратегий используется для получения прибыли в каждом случае. Эта проблема возникает не только у клиентов, но и у руководителей инвестиционных компаний и банков, которые оценивают риски и доходность рыночных позиций своих сотрудников. 

Хорошим примером является скандальная потеря банком JP Morgan более двух миллиардов долларов в результате действий своего трейдера. Бруно «Лондонский кит» Иксил заключил серию хеджевых сделок, чтобы свести к минимуму количество вариантов, в которых банк теряет деньги. Но, в отличие от игры в блэк-джек, где дилер действует по заранее определенным правилам, на фондовом рынке присутствуют и другие игроки, которые активно пытаются заработать на чужих ошибках. И как только они увидели слабое место в хеджевой схеме JP Morgan, они начали играть против нее, превратив маловероятный исход в неизбежный.

По материалам: investcafe.ru


Уважаемые читатели! "Залайкать" и "твитнуть" - лучший способ сказать интернет-ресурсу "спасибо":



Возврат к списку

(Нет голосов)

 


Вернуться